| Referens | Grader (deg) | Radianer (rad) |
|---|---|---|
| A right angle | 90 deg | 1.5708 rad |
| A half turn | 180 deg | 3.14159 rad |
| A full turn | 360 deg | 6.28319 rad |
| Earth's axial tilt | 23.44 deg | 0.409105 rad |
Graden är en enhet för plan vinkel som motsvarar en trehundrasextiondels helt varv. Dess symbol är en liten upphöjd cirkel, och förkortningen deg används där det tecknet saknas. Den är ingen SI-enhet men är godkänd för bruk tillsammans med SI, och den förblir det vanliga sättet att ange en vinkel utanför den rena matematiken.
Valet av 360 är babyloniskt. Deras sexagesimala räkning arbetade i sextiotal, och 360 ligger nära antalet dagar på ett år, så solen tycks flytta sig ungefär en grad längs ekliptikan varje dygn. Talet är dessutom ovanligt bekvämt: det delas jämnt med 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 och 180, så de flesta vanliga delarna av en cirkel hamnar på hela grader.
Underindelningen följer samma bas. En grad delas i 60 bågminuter och varje minut i 60 bågsekunder, och därför skrivs latitud och longitud i grader, minuter och sekunder. Decimalgrader har till stor del ersatt den skrivningen i programvara, eftersom ett enda tal är lättare att räkna med, men sjökort och astronomiska kataloger behåller den äldre formen.
Allt från lantmäteri och byggande till kameraobjektiv, gängor och kompasskurser anges i grader. En rät vinkel är 90, en rak linje 180, ett helt varv 360, och dessa tre fakta bär det mesta av vardagens geometri utan någon omräkning alls.
Metersystemet försökte ersätta den och misslyckades. Det revolutionära Frankrike införde nygraden, hundradelen av en rät vinkel, så att ett kvarts varv blev 100 enheter och ett helt varv 400. Den lever kvar i några lantmäteriinstrument på den europeiska kontinenten och i den nygradsknapp som fickräknare ännu bär, men inget annat tog upp den. Nutida bruk har i stället gått bort från minuter och sekunder men behållit själva graden: satellitnavigering, kartprogram och geografiska databaser lagrar latitud och longitud i decimalgrader, så att 51 grader 30 minuter blir 51,5. De två skrivsätten beskriver samma vinkel, och att ta det ena för det andra förflyttar en position med tiotals kilometer.
En grad motsvarar ungefär 0,0174533 radianer, 60 bågminuter eller 3600 bågsekunder.
Radianen är SI-enheten för plan vinkel. Dess beteckning är rad. En radian är den vinkel som en båge lika lång som radien spänner upp vid en cirkels medelpunkt, vilket gör ett helt varv lika med två pi radianer, ungefär 6,28319.
Eftersom den definieras som förhållandet mellan två längder är radianen dimensionslös. Det är ingen teknikalitet utan hela poängen. Det är skälet till att derivatan av sinusfunktionen är cosinusfunktionen, utan någon vilsen konstant, och skälet till att småvinkelapproximationen säger att sinus av en liten vinkel är nästan vinkeln själv. Vart och ett av dessa resultat får en ful faktor pi genom 180 om grader används i stället.
Namnet myntades av James Thomson, bror till lord Kelvin, i en tentamensfråga vid Queen's College i Belfast 1873, trots att begreppet hade använts namnlöst i ett sekel. Roger Cotes hade beskrivit fördelarna med att mäta vinklar på detta sätt i ett verk utgivet 1722.
Varje programmeringsspråk och varje matematikbibliotek förväntar sig radianer. De trigonometriska funktionerna i C, Python, JavaScript och deras avkomlingar tar radianargument, vilket är en vanlig felkälla när ett värde kommer in i grader från ett användargränssnitt. Vinkelhastighet inom fysik och teknik anges i radianer per sekund, och rotationsstorheter som vridmoment och rörelsemängdsmoment följer samma konvention.
Rotation mäts i radianer per sekund av samma skäl. Vinkelhastigheten i radianer per sekund gånger en radie i meter ger direkt en hastighet i meter per sekund, utan omräkningsfaktor, så ett hjul som snurrar med 100 radianer per sekund på 0,3 meters radie har en fälghastighet på 30 meter per sekund. Samma samstämmighet visar sig i närmandet för små vinklar, som säger att för en liten vinkel uttryckt i radianer är sinus, tangens och vinkeln själv nästan lika. Det närmandet bär pendelformeln, analysen av linser och hälften av härledningarna i en ingenjörsbok, och det gäller endast när vinkeln anges i radianer.
En radian motsvarar ungefär 57,29578 grader, och ett helt varv motsvarar två pi radianer, ungefär 6,28319.