| Radianer (rad) | Bågminuter (arcmin) |
|---|---|
| 1 Radian | 3437.74677078 arcmin |
| 2 Radianer | 6875.49354157 arcmin |
| 3 Radianer | 10313.2403124 arcmin |
| 4 Radianer | 13750.9870831 arcmin |
| 5 Radianer | 17188.7338539 arcmin |
| 10 Radianer | 34377.4677078 arcmin |
| 20 Radianer | 68754.9354157 arcmin |
| 25 Radianer | 85943.6692696 arcmin |
| 50 Radianer | 171887.338539 arcmin |
| 100 Radianer | 343774.677078 arcmin |
| Referens | Radianer (rad) | Bågminuter (arcmin) |
|---|---|---|
| A right angle | 1.5708 rad | 5400 arcmin |
| A half turn | 3.14159 rad | 10800 arcmin |
| A full turn | 6.28319 rad | 21600 arcmin |
| Earth's axial tilt | 0.409105 rad | 1406.4 arcmin |
Radianen är SI-enheten för plan vinkel. Dess beteckning är rad. En radian är den vinkel som en båge lika lång som radien spänner upp vid en cirkels medelpunkt, vilket gör ett helt varv lika med två pi radianer, ungefär 6,28319.
Eftersom den definieras som förhållandet mellan två längder är radianen dimensionslös. Det är ingen teknikalitet utan hela poängen. Det är skälet till att derivatan av sinusfunktionen är cosinusfunktionen, utan någon vilsen konstant, och skälet till att småvinkelapproximationen säger att sinus av en liten vinkel är nästan vinkeln själv. Vart och ett av dessa resultat får en ful faktor pi genom 180 om grader används i stället.
Namnet myntades av James Thomson, bror till lord Kelvin, i en tentamensfråga vid Queen's College i Belfast 1873, trots att begreppet hade använts namnlöst i ett sekel. Roger Cotes hade beskrivit fördelarna med att mäta vinklar på detta sätt i ett verk utgivet 1722.
Varje programmeringsspråk och varje matematikbibliotek förväntar sig radianer. De trigonometriska funktionerna i C, Python, JavaScript och deras avkomlingar tar radianargument, vilket är en vanlig felkälla när ett värde kommer in i grader från ett användargränssnitt. Vinkelhastighet inom fysik och teknik anges i radianer per sekund, och rotationsstorheter som vridmoment och rörelsemängdsmoment följer samma konvention.
Rotation mäts i radianer per sekund av samma skäl. Vinkelhastigheten i radianer per sekund gånger en radie i meter ger direkt en hastighet i meter per sekund, utan omräkningsfaktor, så ett hjul som snurrar med 100 radianer per sekund på 0,3 meters radie har en fälghastighet på 30 meter per sekund. Samma samstämmighet visar sig i närmandet för små vinklar, som säger att för en liten vinkel uttryckt i radianer är sinus, tangens och vinkeln själv nästan lika. Det närmandet bär pendelformeln, analysen av linser och hälften av härledningarna i en ingenjörsbok, och det gäller endast när vinkeln anges i radianer.
En radian motsvarar ungefär 57,29578 grader, och ett helt varv motsvarar två pi radianer, ungefär 6,28319.
Bågminuten är en enhet för plan vinkel som motsvarar en sextiondels grad. Beteckningen är arcmin, eller ett enkelt primtecken efter talet, och den kallas också vinkelminut. En hel cirkel rymmer 21 600 av dem.
Den är skälet till att nautiska milen har den längd den har. En bågminut mätt längs en meridian på jordytan motsvarar nästan exakt en nautisk mil, så en navigatör som läser latituden på ett sjökort kan omvandla den direkt till avstånd utan räkning. Sambandet är inte fullkomligt exakt eftersom jorden inte är ett perfekt klot, men den moderna nautiska milen om 1852 meter valdes för att ligga nära medelvärdet.
Människans syn upplöser detaljer ned till ungefär en bågminut, vilket motsvarar måttet i synundersökningar: de minsta bokstäverna på raden för normal synskärpa spänner sammanlagt fem bågminuter, med varje streck en minut brett. Den gränsen kommer av avståndet mellan näthinnans fotoreceptorer och av pupillens diffraktionsgräns, och de två sammanfaller nära.
Gevärsskyttar använder enheten för träffbild: en grupp om en vinkelminut sprider sig ungefär 1,047 tum på hundra yards, vanligen avrundat till en tum. Astronomin använder den för skenbara storlekar: månen och solen spänner båda ungefär trettio bågminuter, och det är därför en total solförmörkelse över huvud taget är möjlig.
Astronomin brukade den som gränsen för vad som gick att nå före kikaren. Tycho Brahe, som arbetade med stora graderade kvadranter på 1580-talet, mätte stjärnors lägen till omkring en bågminut, och just den noggrannheten lät Kepler visa att Mars bana är en ellips och inte en cirkel. Enheten ger dessutom ett bekvämt grepp om himlen: Solen och Månen spänner båda omkring 30 bågminuter, så en halv grad är bredden på endera skivan, och en hand hållen med sträckt arm täcker flera grader. Att skatta en vinkel på himlen mot Månens bredd är en vana äldre än något instrument.
En bågminut motsvarar en sextiondels grad, 60 bågsekunder eller ungefär 0,000290888 radianer.