| Riferimento | Gradi (deg) | Radianti (rad) |
|---|---|---|
| A right angle | 90 deg | 1.5708 rad |
| A half turn | 180 deg | 3.14159 rad |
| A full turn | 360 deg | 6.28319 rad |
| Earth's axial tilt | 23.44 deg | 0.409105 rad |
Il grado è un’unità di angolo piano pari a un trecentosessantesimo di giro completo. Il suo simbolo è un piccolo cerchietto in alto, e l’abbreviazione deg si usa dove quel carattere non è disponibile. Non è un’unità SI ma ne è ammesso l’uso insieme al SI, e resta il modo consueto di indicare un angolo fuori della matematica pura.
La scelta del 360 è babilonese. La loro aritmetica sessagesimale lavorava per sessantine, e 360 si avvicina al numero di giorni dell’anno, sicché il Sole sembra avanzare di circa un grado lungo l’eclittica ogni giorno. Il numero è inoltre insolitamente comodo: si divide esattamente per 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 e 180, così la maggior parte delle frazioni consuete del cerchio cade su gradi interi.
La suddivisione segue la stessa base. Un grado si spezza in 60 primi d’arco e ogni primo in 60 secondi d’arco, ed è per questo che latitudine e longitudine si scrivono in gradi, primi e secondi. I gradi decimali hanno in larga parte sostituito quella notazione nei programmi, poiché con un solo numero si calcola meglio, ma le carte nautiche e i cataloghi astronomici mantengono la forma antica.
Tutto, dalla topografia e dall’edilizia agli obiettivi fotografici, alle filettature e alle rotte bussola, si specifica in gradi. Un angolo retto misura 90, una linea retta 180, un giro completo 360, e questi tre fatti reggono gran parte della geometria quotidiana senza alcuna conversione.
Il sistema metrico tentò di sostituirlo e fallì. La Francia rivoluzionaria introdusse il grado centesimale, la centesima parte di un angolo retto, sicché un quarto di giro valeva 100 unità e un giro intero 400. Sopravvive in qualche strumento topografico dell’Europa continentale e nel tasto dei gradi centesimali che le calcolatrici tascabili portano ancora, ma nient’altro lo adottò. La pratica moderna si è invece allontanata da minuti e secondi conservando il grado: la navigazione satellitare, i programmi di cartografia e le banche dati geografiche registrano latitudine e longitudine in gradi decimali, sicché 51 gradi e 30 primi diventa 51,5. Le due notazioni descrivono lo stesso angolo, e scambiare l’una per l’altra sposta una posizione di decine di chilometri.
Un grado equivale a circa 0,0174533 radianti, a 60 primi d’arco o a 3600 secondi d’arco.
Il radiante è l’unità SI di angolo piano. Il suo simbolo è rad. Un radiante è l’angolo sotteso al centro di una circonferenza da un arco lungo quanto il raggio, il che rende un giro completo pari a due pi greco radianti, circa 6,28319.
Poiché si definisce come rapporto di due lunghezze, il radiante è adimensionale. Non è un tecnicismo ma tutta la sua ragion d’essere. È per questo che la derivata della funzione seno è la funzione coseno, senza costanti spurie, e che l’approssimazione per angoli piccoli dice che il seno di un angolo piccolo è quasi l’angolo stesso. Ognuno di questi risultati acquista un brutto fattore pi greco su 180 se si usano i gradi.
Il nome fu coniato da James Thomson, fratello di lord Kelvin, in una domanda d’esame al Queen’s College di Belfast nel 1873, benché il concetto fosse in uso senza nome da un secolo. Roger Cotes aveva descritto i vantaggi di misurare gli angoli in questo modo in un’opera pubblicata nel 1722.
Ogni linguaggio di programmazione e ogni libreria matematica si aspetta radianti. Le funzioni trigonometriche in C, Python, JavaScript e nei loro discendenti prendono argomenti in radianti, fonte abituale di errori quando un valore arriva in gradi da un’interfaccia utente. La velocità angolare in fisica e ingegneria si esprime in radianti al secondo, e grandezze rotazionali come momento torcente e momento angolare seguono la stessa convenzione.
La rotazione si misura in radianti al secondo per la stessa ragione. La velocità angolare in radianti al secondo moltiplicata per un raggio in metri dà direttamente una velocità in metri al secondo, senza fattore di conversione, sicché una ruota che gira a 100 radianti al secondo su un raggio di 0,3 metri ha una velocità al cerchione di 30 metri al secondo. La stessa coerenza compare nell’approssimazione dei piccoli angoli, che dice che per un angolo piccolo espresso in radianti il seno, la tangente e l’angolo stesso sono quasi uguali. Tale approssimazione regge la formula del pendolo, l’analisi delle lenti e metà delle deduzioni di un manuale d’ingegneria, e vale solo con l’angolo in radianti.
Un radiante equivale a circa 57,29578 gradi, e un giro completo equivale a due pi greco radianti, all’incirca 6,28319.