Conversione da Radianti a Minuti d’arco

Informazioni sul Radiante (rad)

Il radiante è l’unità SI di angolo piano. Il suo simbolo è rad. Un radiante è l’angolo sotteso al centro di una circonferenza da un arco lungo quanto il raggio, il che rende un giro completo pari a due pi greco radianti, circa 6,28319.

Poiché si definisce come rapporto di due lunghezze, il radiante è adimensionale. Non è un tecnicismo ma tutta la sua ragion d’essere. È per questo che la derivata della funzione seno è la funzione coseno, senza costanti spurie, e che l’approssimazione per angoli piccoli dice che il seno di un angolo piccolo è quasi l’angolo stesso. Ognuno di questi risultati acquista un brutto fattore pi greco su 180 se si usano i gradi.

Il nome fu coniato da James Thomson, fratello di lord Kelvin, in una domanda d’esame al Queen’s College di Belfast nel 1873, benché il concetto fosse in uso senza nome da un secolo. Roger Cotes aveva descritto i vantaggi di misurare gli angoli in questo modo in un’opera pubblicata nel 1722.

Ogni linguaggio di programmazione e ogni libreria matematica si aspetta radianti. Le funzioni trigonometriche in C, Python, JavaScript e nei loro discendenti prendono argomenti in radianti, fonte abituale di errori quando un valore arriva in gradi da un’interfaccia utente. La velocità angolare in fisica e ingegneria si esprime in radianti al secondo, e grandezze rotazionali come momento torcente e momento angolare seguono la stessa convenzione.

La rotazione si misura in radianti al secondo per la stessa ragione. La velocità angolare in radianti al secondo moltiplicata per un raggio in metri dà direttamente una velocità in metri al secondo, senza fattore di conversione, sicché una ruota che gira a 100 radianti al secondo su un raggio di 0,3 metri ha una velocità al cerchione di 30 metri al secondo. La stessa coerenza compare nell’approssimazione dei piccoli angoli, che dice che per un angolo piccolo espresso in radianti il seno, la tangente e l’angolo stesso sono quasi uguali. Tale approssimazione regge la formula del pendolo, l’analisi delle lenti e metà delle deduzioni di un manuale d’ingegneria, e vale solo con l’angolo in radianti.

Un radiante equivale a circa 57,29578 gradi, e un giro completo equivale a due pi greco radianti, all’incirca 6,28319.

Informazioni sul Minuto d’arco (arcmin)

Il primo d’arco è un’unità di angolo piano pari a un sessantesimo di grado. Il suo simbolo è arcmin, oppure un apice singolo dopo il numero, e si chiama anche minuto d’angolo. Una circonferenza completa ne contiene 21 600.

È la ragione della lunghezza del miglio nautico. Un primo d’arco misurato lungo un meridiano sulla superficie terrestre vale quasi esattamente un miglio nautico, sicché un navigatore che legge la latitudine su una carta la converte direttamente in distanza senza calcoli. La relazione non è perfettamente esatta perché la Terra non è una sfera perfetta, ma il miglio nautico moderno di 1852 metri fu scelto per restare vicino al valore medio.

La vista umana risolve dettagli fino a circa un primo d’arco, il che corrisponde al criterio degli esami oculistici: le lettere più piccole della riga di acuità normale sottendono cinque primi d’arco in tutto, con ogni tratto largo un primo. Quel limite deriva dalla spaziatura dei fotorecettori nella retina e dal limite di diffrazione della pupilla, e i due coincidono strettamente.

I tiratori di carabina usano l’unità per la precisione: una rosata di un minuto d’angolo si allarga di circa 1,047 pollici a cento iarde, comunemente arrotondati a un pollice. L’astronomia la usa per le dimensioni apparenti: la Luna e il Sole sottendono entrambi circa trenta primi d’arco, ed è per questo che un’eclissi solare totale è possibile.

L’astronomia lo usò come il limite di ciò che era raggiungibile prima del cannocchiale. Tycho Brahe, lavorando con grandi quadranti graduati negli anni 1580, misurò le posizioni stellari con circa un primo d’arco di precisione, ed è proprio quell’esattezza che permise a Keplero di mostrare che l’orbita di Marte è un’ellisse e non un cerchio. L’unità offre inoltre una presa comoda sul cielo: il Sole e la Luna sottendono entrambi circa 30 primi d’arco, sicché mezzo grado è la larghezza di entrambi i dischi, e una mano tenuta a braccio teso copre parecchi gradi. Stimare un angolo del cielo sulla larghezza della Luna è un’abitudine più antica di qualunque strumento.

Un primo d’arco equivale a un sessantesimo di grado, a 60 secondi d’arco o a circa 0,000290888 radianti.