Radian (rad)

Le radian est l’unité SI d’angle plan. Son symbole est rad. Un radian est l’angle sous-tendu au centre d’un cercle par un arc dont la longueur égale le rayon, ce qui fait valoir un tour complet deux pi radians, soit environ 6,28319.

Parce qu’il se définit comme un rapport de deux longueurs, le radian est sans dimension. Ce n’est pas un détail technique mais toute sa raison d’être. C’est pourquoi la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, sans constante parasite, et pourquoi l’approximation des petits angles dit que le sinus d’un petit angle vaut presque l’angle lui-même. Chacun de ces résultats gagne un vilain facteur pi sur 180 si l’on emploie des degrés.

Le nom fut forgé par James Thomson, frère de lord Kelvin, dans un sujet d’examen du Queen’s College de Belfast en 1873, bien que la notion fût employée sans nom depuis un siècle. Roger Cotes avait décrit les avantages de mesurer les angles de cette façon dans un ouvrage paru en 1722.

Tous les langages de programmation et toutes les bibliothèques mathématiques attendent des radians. Les fonctions trigonométriques de C, de Python, de JavaScript et de leurs descendants prennent des arguments en radians, source ordinaire de bogues quand une valeur arrive en degrés depuis une interface. La vitesse angulaire en physique et en ingénierie s’exprime en radians par seconde, et les grandeurs de rotation comme le couple et le moment cinétique suivent la même convention.

La rotation se mesure en radians par seconde pour la même raison. La vitesse angulaire en radians par seconde multipliée par un rayon en mètres donne directement une vitesse en mètres par seconde, sans facteur de conversion : une roue tournant à 100 radians par seconde sur un rayon de 0,3 mètre a donc une vitesse de jante de 30 mètres par seconde. La même cohérence paraît dans l’approximation des petits angles, qui dit que pour un angle petit exprimé en radians le sinus, la tangente et l’angle lui-même sont presque égaux. Cette approximation soutient la formule du pendule, l’analyse des lentilles et la moitié des démonstrations d’un manuel d’ingénierie, et elle ne vaut que si l’angle est en radians.

Un radian équivaut à environ 57,29578 degrés, et un cercle complet équivaut à deux pi radians, soit environ 6,28319.

Table de conversion du Radian