Conversion de Radians en Minutes d’arc

Informations sur le Radian (rad)

Le radian est l’unité SI d’angle plan. Son symbole est rad. Un radian est l’angle sous-tendu au centre d’un cercle par un arc dont la longueur égale le rayon, ce qui fait valoir un tour complet deux pi radians, soit environ 6,28319.

Parce qu’il se définit comme un rapport de deux longueurs, le radian est sans dimension. Ce n’est pas un détail technique mais toute sa raison d’être. C’est pourquoi la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, sans constante parasite, et pourquoi l’approximation des petits angles dit que le sinus d’un petit angle vaut presque l’angle lui-même. Chacun de ces résultats gagne un vilain facteur pi sur 180 si l’on emploie des degrés.

Le nom fut forgé par James Thomson, frère de lord Kelvin, dans un sujet d’examen du Queen’s College de Belfast en 1873, bien que la notion fût employée sans nom depuis un siècle. Roger Cotes avait décrit les avantages de mesurer les angles de cette façon dans un ouvrage paru en 1722.

Tous les langages de programmation et toutes les bibliothèques mathématiques attendent des radians. Les fonctions trigonométriques de C, de Python, de JavaScript et de leurs descendants prennent des arguments en radians, source ordinaire de bogues quand une valeur arrive en degrés depuis une interface. La vitesse angulaire en physique et en ingénierie s’exprime en radians par seconde, et les grandeurs de rotation comme le couple et le moment cinétique suivent la même convention.

La rotation se mesure en radians par seconde pour la même raison. La vitesse angulaire en radians par seconde multipliée par un rayon en mètres donne directement une vitesse en mètres par seconde, sans facteur de conversion : une roue tournant à 100 radians par seconde sur un rayon de 0,3 mètre a donc une vitesse de jante de 30 mètres par seconde. La même cohérence paraît dans l’approximation des petits angles, qui dit que pour un angle petit exprimé en radians le sinus, la tangente et l’angle lui-même sont presque égaux. Cette approximation soutient la formule du pendule, l’analyse des lentilles et la moitié des démonstrations d’un manuel d’ingénierie, et elle ne vaut que si l’angle est en radians.

Un radian équivaut à environ 57,29578 degrés, et un cercle complet équivaut à deux pi radians, soit environ 6,28319.

Informations sur le Minute d’arc (arcmin)

La minute d’arc est une unité d’angle plan valant un soixantième de degré. Son symbole est arcmin, ou une prime simple après le nombre, et on l’appelle aussi minute d’angle. Un cercle complet en contient 21 600.

Elle explique la longueur du mille marin. Une minute d’arc mesurée le long d’un méridien à la surface de la Terre vaut presque exactement un mille marin, si bien qu’un navigateur lisant la latitude sur une carte la convertit directement en distance sans calcul. La relation n’est pas parfaitement exacte, la Terre n’étant pas une sphère parfaite, mais le mille marin moderne de 1852 mètres fut choisi pour rester proche de la valeur moyenne.

La vision humaine résout les détails jusqu’à environ une minute d’arc, ce qui correspond au critère des examens de la vue : les plus petites lettres de la ligne d’acuité normale sous-tendent cinq minutes d’arc au total, chaque trait mesurant une minute de large. Cette limite vient de l’espacement des photorécepteurs de la rétine et de la limite de diffraction de la pupille, et les deux se rejoignent étroitement.

Les tireurs à la carabine emploient l’unité pour la précision : un groupement d’une minute d’angle s’étale d’environ 1,047 pouce à cent yards, arrondi couramment à un pouce. L’astronomie s’en sert pour les tailles apparentes : la Lune et le Soleil sous-tendent tous deux environ trente minutes d’arc, ce qui rend possible l’éclipse totale de Soleil.

L’astronomie s’en servit comme de la limite de ce qu’on pouvait atteindre avant la lunette. Tycho Brahe, travaillant avec de grands quadrants gradués dans les années 1580, mesura les positions stellaires à environ une minute d’arc près, et c’est justement cette exactitude qui permit à Kepler de montrer que l’orbite de Mars est une ellipse et non un cercle. L’unité offre en outre une prise commode sur le ciel : le Soleil et la Lune sous-tendent tous deux environ 30 minutes d’arc, si bien qu’un demi-degré est la largeur de l’un ou l’autre disque, et une main tenue à bout de bras couvre plusieurs degrés. Estimer un angle du ciel à la largeur de la Lune est une habitude plus ancienne que tout instrument.

Une minute d’arc équivaut à un soixantième de degré, à 60 secondes d’arc ou à environ 0,000290888 radian.