Conversion de Radians en Secondes d’arc

Informations sur le Radian (rad)

Le radian est l’unité SI d’angle plan. Son symbole est rad. Un radian est l’angle sous-tendu au centre d’un cercle par un arc dont la longueur égale le rayon, ce qui fait valoir un tour complet deux pi radians, soit environ 6,28319.

Parce qu’il se définit comme un rapport de deux longueurs, le radian est sans dimension. Ce n’est pas un détail technique mais toute sa raison d’être. C’est pourquoi la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, sans constante parasite, et pourquoi l’approximation des petits angles dit que le sinus d’un petit angle vaut presque l’angle lui-même. Chacun de ces résultats gagne un vilain facteur pi sur 180 si l’on emploie des degrés.

Le nom fut forgé par James Thomson, frère de lord Kelvin, dans un sujet d’examen du Queen’s College de Belfast en 1873, bien que la notion fût employée sans nom depuis un siècle. Roger Cotes avait décrit les avantages de mesurer les angles de cette façon dans un ouvrage paru en 1722.

Tous les langages de programmation et toutes les bibliothèques mathématiques attendent des radians. Les fonctions trigonométriques de C, de Python, de JavaScript et de leurs descendants prennent des arguments en radians, source ordinaire de bogues quand une valeur arrive en degrés depuis une interface. La vitesse angulaire en physique et en ingénierie s’exprime en radians par seconde, et les grandeurs de rotation comme le couple et le moment cinétique suivent la même convention.

La rotation se mesure en radians par seconde pour la même raison. La vitesse angulaire en radians par seconde multipliée par un rayon en mètres donne directement une vitesse en mètres par seconde, sans facteur de conversion : une roue tournant à 100 radians par seconde sur un rayon de 0,3 mètre a donc une vitesse de jante de 30 mètres par seconde. La même cohérence paraît dans l’approximation des petits angles, qui dit que pour un angle petit exprimé en radians le sinus, la tangente et l’angle lui-même sont presque égaux. Cette approximation soutient la formule du pendule, l’analyse des lentilles et la moitié des démonstrations d’un manuel d’ingénierie, et elle ne vaut que si l’angle est en radians.

Un radian équivaut à environ 57,29578 degrés, et un cercle complet équivaut à deux pi radians, soit environ 6,28319.

Informations sur le Seconde d’arc (arcsec)

La seconde d’arc est une unité d’angle plan valant un soixantième de minute d’arc, soit un trois mille six centième de degré. Son symbole est arcsec, ou une double prime après le nombre, et on l’appelle aussi seconde d’angle. Un cercle complet en contient 1 296 000.

C’est l’unité de travail de l’astronomie de position. Les positions stellaires, les mouvements propres et les diamètres apparents des planètes s’expriment en secondes d’arc, et les meilleurs télescopes au sol sont limités par la turbulence atmosphérique à une résolution d’environ une demi-seconde d’arc par bonne nuit. Les télescopes spatiaux échappent à cette limite : le télescope spatial Hubble résout des détails de l’ordre du vingtième de seconde d’arc.

Le parsec, unité usuelle de distance astronomique, s’en déduit directement. Une étoile située à un parsec présente une parallaxe annuelle d’exactement une seconde d’arc lorsque la Terre passe d’un côté à l’autre de son orbite, et le nom est une contraction de parallaxe et de seconde. Aucune étoile n’est aussi proche, si bien que toute parallaxe stellaire mesurée est inférieure à une seconde d’arc, et la sonde Gaia en mesure certaines au millionième près.

Sur Terre, une seconde d’arc de latitude vaut environ 31 mètres, et c’est pourquoi des coordonnées écrites en degrés, minutes et secondes exigent des fractions décimales de seconde pour situer un bâtiment. Les instruments de topographie et les montures de télescope se spécifient par le nombre de secondes d’arc d’erreur qu’ils portent, et l’optique de précision emploie l’unité pour les tolérances angulaires.

L’atmosphère fixe la limite pratique d’un télescope au sol. La turbulence de l’air étale une étoile en une tache d’environ une seconde d’arc de largeur, grandeur que les astronomes nomment le seeing, et les meilleurs sites de montagne atteignent quelques dixièmes de cela par bonne nuit. La battre exige soit de passer au-dessus de l’air, soit de la corriger en temps réel par un miroir déformable. Les télescopes spatiaux et l’astrométrie moderne travaillent bien au-dessous de la seconde d’arc : la sonde Gaia mesure les positions stellaires à quelques dizaines de microsecondes d’arc, angle que sous-tendrait une pièce de monnaie posée sur la Lune, et les interféromètres radio à l’échelle des continents font mieux encore.

Une seconde d’arc équivaut à un soixantième de minute d’arc, à un trois mille six centième de degré ou à environ 4,84814 millionièmes de radian.