| Référence | Degrés (deg) | Radians (rad) |
|---|---|---|
| A right angle | 90 deg | 1.5708 rad |
| A half turn | 180 deg | 3.14159 rad |
| A full turn | 360 deg | 6.28319 rad |
| Earth's axial tilt | 23.44 deg | 0.409105 rad |
Le degré est une unité d’angle plan valant un trois cent soixantième de tour complet. Son symbole est un petit cercle en exposant, et l’abréviation deg s’emploie là où ce caractère fait défaut. Ce n’est pas une unité du SI, mais son usage avec le SI est admis, et il reste la manière ordinaire d’exprimer un angle hors des mathématiques pures.
Le choix de 360 est babylonien. Leur arithmétique sexagésimale travaillait par soixantaines, et 360 approche le nombre de jours de l’année, de sorte que le Soleil semble avancer d’environ un degré sur l’écliptique chaque jour. Le nombre est en outre singulièrement commode : il se divise exactement par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 et 180, si bien que la plupart des fractions usuelles du cercle tombent sur des degrés entiers.
La subdivision suit la même base. Un degré se partage en 60 minutes d’arc et chaque minute en 60 secondes d’arc, d’où l’écriture de la latitude et de la longitude en degrés, minutes et secondes. Les degrés décimaux ont largement remplacé cette notation dans les logiciels, un nombre unique se calculant plus aisément, mais les cartes marines et les catalogues astronomiques conservent la forme ancienne.
Tout, de la topographie et du bâtiment aux objectifs photographiques, aux filetages et aux caps au compas, se spécifie en degrés. Un angle droit vaut 90, une ligne droite 180, un tour complet 360, et ces trois faits portent l’essentiel de la géométrie quotidienne sans la moindre conversion.
Le système métrique tenta de le remplacer et échoua. La France révolutionnaire introduisit le grade, centième de l’angle droit, si bien qu’un quart de tour valait 100 unités et un tour entier 400. Il subsiste dans quelques instruments de topographie d’Europe continentale et dans la touche des grades que portent encore les calculatrices de poche, mais rien d’autre ne l’adopta. La pratique moderne s’est en revanche éloignée des minutes et des secondes en gardant le degré : la navigation par satellite, les logiciels de cartographie et les bases de données géographiques enregistrent la latitude et la longitude en degrés décimaux, de sorte que 51 degrés 30 minutes devient 51,5. Les deux notations décrivent le même angle, et confondre l’une avec l’autre déplace une position de dizaines de kilomètres.
Un degré équivaut à environ 0,0174533 radian, à 60 minutes d’arc ou à 3600 secondes d’arc.
Le radian est l’unité SI d’angle plan. Son symbole est rad. Un radian est l’angle sous-tendu au centre d’un cercle par un arc dont la longueur égale le rayon, ce qui fait valoir un tour complet deux pi radians, soit environ 6,28319.
Parce qu’il se définit comme un rapport de deux longueurs, le radian est sans dimension. Ce n’est pas un détail technique mais toute sa raison d’être. C’est pourquoi la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, sans constante parasite, et pourquoi l’approximation des petits angles dit que le sinus d’un petit angle vaut presque l’angle lui-même. Chacun de ces résultats gagne un vilain facteur pi sur 180 si l’on emploie des degrés.
Le nom fut forgé par James Thomson, frère de lord Kelvin, dans un sujet d’examen du Queen’s College de Belfast en 1873, bien que la notion fût employée sans nom depuis un siècle. Roger Cotes avait décrit les avantages de mesurer les angles de cette façon dans un ouvrage paru en 1722.
Tous les langages de programmation et toutes les bibliothèques mathématiques attendent des radians. Les fonctions trigonométriques de C, de Python, de JavaScript et de leurs descendants prennent des arguments en radians, source ordinaire de bogues quand une valeur arrive en degrés depuis une interface. La vitesse angulaire en physique et en ingénierie s’exprime en radians par seconde, et les grandeurs de rotation comme le couple et le moment cinétique suivent la même convention.
La rotation se mesure en radians par seconde pour la même raison. La vitesse angulaire en radians par seconde multipliée par un rayon en mètres donne directement une vitesse en mètres par seconde, sans facteur de conversion : une roue tournant à 100 radians par seconde sur un rayon de 0,3 mètre a donc une vitesse de jante de 30 mètres par seconde. La même cohérence paraît dans l’approximation des petits angles, qui dit que pour un angle petit exprimé en radians le sinus, la tangente et l’angle lui-même sont presque égaux. Cette approximation soutient la formule du pendule, l’analyse des lentilles et la moitié des démonstrations d’un manuel d’ingénierie, et elle ne vaut que si l’angle est en radians.
Un radian équivaut à environ 57,29578 degrés, et un cercle complet équivaut à deux pi radians, soit environ 6,28319.