| Reference | Grader (deg) | Radianer (rad) |
|---|---|---|
| A right angle | 90 deg | 1.5708 rad |
| A half turn | 180 deg | 3.14159 rad |
| A full turn | 360 deg | 6.28319 rad |
| Earth's axial tilt | 23.44 deg | 0.409105 rad |
Graden er en enhed for plan vinkel, der svarer til en trehundredeogtresindstyvendedel af en hel omgang. Dens symbol er en lille hævet cirkel, og forkortelsen deg bruges, hvor det tegn ikke findes. Den er ikke en SI-enhed, men er godkendt til brug sammen med SI, og den er fortsat den almindelige måde at angive en vinkel på uden for den rene matematik.
Valget af 360 er babylonisk. Deres seksagesimale regning arbejdede i tressere, og 360 ligger tæt på antallet af dage på et år, så Solen synes at rykke omkring én grad frem langs ekliptika hvert døgn. Tallet er desuden usædvanlig bekvemt: det går op i 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 og 180, så de fleste almindelige brøkdele af en cirkel lander på hele grader.
Underinddelingen følger samme grundtal. En grad deles i 60 bueminutter og hvert minut i 60 buesekunder, og derfor skrives bredde og længde i grader, minutter og sekunder. Decimalgrader har i vid udstrækning afløst den skrivemåde i software, fordi ét enkelt tal er lettere at regne med, men søkort og astronomiske kataloger bevarer den ældre form.
Alt fra landmåling og byggeri til kameraobjektiver, gevind og kompaskurser angives i grader. En ret vinkel er 90, en ret linje 180, en hel omdrejning 360, og disse tre kendsgerninger bærer størstedelen af hverdagens geometri helt uden omregning.
Metersystemet forsøgte at erstatte den og mislykkedes. Det revolutionære Frankrig indførte nygraden, hundrededelen af en ret vinkel, så et kvart omdrejning blev 100 enheder og en hel omdrejning 400. Den lever videre i nogle landmålingsinstrumenter på det europæiske fastland og i den nygradstast, lommeregnere endnu bærer, men intet andet tog den til sig. Nutidig praksis er i stedet gået bort fra minutter og sekunder, men har beholdt selve graden: satellitnavigation, kortprogrammer og geografiske databaser gemmer bredde og længde i decimalgrader, så 51 grader 30 minutter bliver 51,5. De to skrivemåder beskriver den samme vinkel, og at tage den ene for den anden flytter en position titals kilometer.
En grad svarer til cirka 0,0174533 radianer, 60 bueminutter eller 3600 buesekunder.
Radianen er SI-enheden for plan vinkel. Dens symbol er rad. Én radian er den vinkel, som en bue lige så lang som radius spænder over ved en cirkels centrum, hvilket gør en hel omgang lig med to pi radianer, cirka 6,28319.
Fordi den defineres som forholdet mellem to længder, er radianen dimensionsløs. Det er ikke en teknikalitet, men hele pointen. Det er grunden til, at den afledede af sinusfunktionen er cosinusfunktionen, uden nogen løsrevet konstant, og grunden til, at småvinkeltilnærmelsen siger, at sinus til en lille vinkel næsten er vinklen selv. Hvert af disse resultater får en grim faktor pi over 180, hvis der bruges grader i stedet.
Navnet blev opfundet af James Thomson, bror til lord Kelvin, i et eksamensspørgsmål ved Queen's College i Belfast i 1873, selv om begrebet havde været i brug uden navn i et århundrede. Roger Cotes havde beskrevet fordelene ved at måle vinkler på denne måde i et værk udgivet i 1722.
Ethvert programmeringssprog og ethvert matematikbibliotek forventer radianer. De trigonometriske funktioner i C, Python, JavaScript og deres efterkommere tager radianargumenter, hvilket er en almindelig fejlkilde, når en værdi kommer ind i grader fra en brugergrænseflade. Vinkelhastighed inden for fysik og teknik angives i radianer pr. sekund, og rotationsstørrelser som kraftmoment og impulsmoment følger samme konvention.
Rotation måles i radianer pr. sekund af samme grund. Vinkelhastigheden i radianer pr. sekund gange en radius i meter giver direkte en hastighed i meter pr. sekund, uden omregningsfaktor, så et hjul, der drejer med 100 radianer pr. sekund på 0,3 meters radius, har en fælghastighed på 30 meter pr. sekund. Den samme samstemmighed viser sig i tilnærmelsen for små vinkler, som siger, at for en lille vinkel udtrykt i radianer er sinus, tangens og vinklen selv næsten ens. Den tilnærmelse bærer pendelformlen, analysen af linser og halvdelen af udledningerne i en ingeniørbog, og den gælder kun, når vinklen er i radianer.
Én radian svarer til cirka 57,29578 grader, og en hel cirkel svarer til to pi radianer, omtrent 6,28319.