| Referência | Graus (deg) | Radianos (rad) |
|---|---|---|
| A right angle | 90 deg | 1.5708 rad |
| A half turn | 180 deg | 3.14159 rad |
| A full turn | 360 deg | 6.28319 rad |
| Earth's axial tilt | 23.44 deg | 0.409105 rad |
O grau é uma unidade de ângulo plano igual a um trezentos e sessenta avos de uma volta completa. O seu símbolo é um pequeno círculo elevado, e usa-se a abreviatura deg onde esse carácter não está disponível. Não é uma unidade do SI, mas o seu uso com o SI é aceite, e continua a ser a maneira comum de indicar um ângulo fora da matemática pura.
A escolha do 360 é babilónica. A sua aritmética sexagesimal trabalhava em sessentas, e 360 aproxima-se do número de dias do ano, pelo que o Sol parece avançar cerca de um grau ao longo da eclíptica por dia. O número é ainda invulgarmente cómodo: divide-se exatamente por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 e 180, pelo que a maioria das frações habituais do círculo cai em graus inteiros.
A subdivisão segue a mesma base. Um grau reparte-se em 60 minutos de arco e cada minuto em 60 segundos de arco, razão pela qual a latitude e a longitude se escrevem em graus, minutos e segundos. Os graus decimais substituíram em larga medida essa notação no software, já que um único número é mais fácil de calcular, mas as cartas náuticas e os catálogos astronómicos conservam a forma antiga.
Tudo, da topografia e da construção às objetivas fotográficas, às roscas e aos rumos de bússola, se especifica em graus. Um ângulo reto tem 90, uma linha reta 180, uma rotação completa 360, e esses três factos sustentam quase toda a geometria quotidiana sem qualquer conversão.
O sistema métrico tentou substituí-lo e falhou. A França revolucionária introduziu o grado, a centésima parte de um ângulo reto, de modo que um quarto de volta eram 100 unidades e uma volta inteira 400. Sobrevive em alguns instrumentos de topografia da Europa continental e na tecla de grados que as calculadoras de bolso ainda trazem, mas nada mais o adotou. A prática moderna afastou-se antes dos minutos e dos segundos, conservando o grau: a navegação por satélite, os programas de cartografia e as bases de dados geográficas guardam a latitude e a longitude em graus decimais, pelo que 51 graus e 30 minutos passa a 51,5. As duas notações descrevem o mesmo ângulo, e confundir uma com a outra desloca uma posição dezenas de quilómetros.
Um grau equivale a cerca de 0,0174533 radianos, a 60 minutos de arco ou a 3600 segundos de arco.
O radiano é a unidade SI de ângulo plano. O seu símbolo é rad. Um radiano é o ângulo subtendido no centro de uma circunferência por um arco de comprimento igual ao raio, o que faz uma volta completa valer dois pi radianos, cerca de 6,28319.
Por se definir como razão de dois comprimentos, o radiano é adimensional. Isso não é um pormenor técnico mas toda a sua razão de ser. É por isso que a derivada da função seno é a função cosseno, sem constante estranha, e que a aproximação de ângulos pequenos diz que o seno de um ângulo pequeno é quase o próprio ângulo. Cada um desses resultados ganha um feio fator de pi sobre 180 se se usarem graus.
O nome foi cunhado por James Thomson, irmão de lorde Kelvin, numa pergunta de exame do Queen's College de Belfast em 1873, embora o conceito estivesse em uso sem nome havia um século. Roger Cotes descrevera as vantagens de medir ângulos deste modo numa obra publicada em 1722.
Todas as linguagens de programação e bibliotecas matemáticas esperam radianos. As funções trigonométricas em C, Python, JavaScript e nos seus descendentes recebem argumentos em radianos, fonte habitual de erros quando um valor chega em graus a partir de uma interface. A velocidade angular em física e engenharia exprime-se em radianos por segundo, e grandezas de rotação como o momento de força e o momento angular seguem a mesma convenção.
A rotação mede-se em radianos por segundo pela mesma razão. A velocidade angular em radianos por segundo multiplicada por um raio em metros dá diretamente uma velocidade em metros por segundo, sem fator de conversão, pelo que uma roda a girar a 100 radianos por segundo com raio de 0,3 metros tem uma velocidade de aro de 30 metros por segundo. A mesma coerência aparece na aproximação de ângulos pequenos, que diz que para um ângulo pequeno expresso em radianos o seno, a tangente e o próprio ângulo são quase iguais. Essa aproximação sustenta a fórmula do pêndulo, a análise das lentes e metade das deduções de um manual de engenharia, e só vale com o ângulo em radianos.
Um radiano equivale a cerca de 57,29578 graus, e uma circunferência completa equivale a dois pi radianos, aproximadamente 6,28319.