分角からラジアンへの換算

分角（arcmin）について

分は、1 度の 60 分の 1 にあたる平面角の単位です。記号は arcmin、または数字のあとに付ける単一のプライムで、角度分とも呼ばれます。1 周には 21600 分が含まれます。

海里の長さが今の値になっているのは、この単位のためです。地表の子午線に沿って測った 1 分は、ほぼちょうど 1 海里にあたるので、海図から緯度を読み取った航海士は、計算なしにそのまま距離へ読み替えられます。地球は完全な球ではないため、この関係は厳密ではありませんが、現代の 1852 メートルという海里は、平均値に近くなるように選ばれました。

人の視覚が見分けられる細かさはおよそ 1 分であり、これは視力検査の基準に対応します。標準の視力にあたる行のもっとも小さい文字は、全体で 5 分を張り、線の 1 本ずつの幅が 1 分にあたります。この限界は網膜の視細胞の間隔と、瞳孔による回折の限界から生じており、両者はよく一致しています。

ライフルの射手は精度にこの単位を使います。1 分の集弾は 100 ヤードでおよそ 1.047 インチに広がり、ふつうは 1 インチに丸められます。天文学では見かけの大きさに用います。月も太陽もおよそ 30 分を張っており、皆既日食が起こりうるのはそのためです。

天文 は これ を、望遠鏡 の 前 に 達し うる 限界 として用いました。ティコ・ブラーエ は 1580 年代 に 大きな 目盛り 付き の 四分儀 で 星 の 位置 を およそ 一 分角 の 精度 で測り、その 正確 さ こそ が、火星 の 軌道 が 円 ではなく 楕円 である こと を ケプラー に示させました。この単位は 空 を つかむ 便利 な 手がかり も与えます。太陽 と 月 は どちら も およそ 30 分角 を張るので、半 度 が その 円 の 幅 です。腕 を伸ばして かざした 手 は 数 度 を覆います。空 の 角 を 月 の 幅 に照らして 見積もる こと は、どの 器具 より 古い 習わし です。

1 分は、1 度の 60 分の 1、60 秒、およそ 0.000290888 ラジアンに等しくなります。

ラジアン（rad）について

ラジアンは、SI における平面角の単位です。記号は rad です。1 ラジアンは、半径と同じ長さの弧が円の中心に対して張る角であり、したがって 1 回転は 2 パイ ラジアン、およそ 6.28319 になります。

二つの長さの比として定義されるため、ラジアンは無次元です。これは細かい約束事ではなく、この単位の存在理由そのものです。サイン関数の導関数が余計な定数を伴わずコサイン関数になるのはこのためであり、微小角の近似が、小さい角のサインはほぼその角自身に等しいと述べられるのもこのためです。度を使うと、これらの結果はいずれも パイ を 180 で割った見苦しい係数を抱え込みます。

この名は 1873 年、ベルファストのクイーンズ・カレッジの試験問題のなかで、ケルビン卿の兄弟であるジェームズ・トムソンが作りました。概念自体は名前のないまま 1 世紀にわたって使われていました。ロジャー・コーツは、このやり方で角を測る利点を 1722 年に刊行された著作で述べています。

あらゆるプログラミング言語と数学ライブラリはラジアンを前提とします。C、Python、JavaScript とその系譜の三角関数はいずれもラジアンの引数を取り、利用者インターフェースから度の値が渡ってくると、これは日常的な不具合の原因になります。物理と工学における角速度はラジアン毎秒で表され、トルクや角運動量といった回転の量も同じ約束に従います。

回転 を 毎秒 ラジアン で測るのも 同じ 理由 です。毎秒 ラジアン の 角 の 速さ に、メートル の 半径 を掛ければ、換算 の 係数 なしに 毎秒 メートル の 速さ が じかに 出ます。半径 0.3 メートル の 車輪 が 毎秒 100 ラジアン で回れば、縁 の 速さ は 毎秒 30 メートル です。同じ 整合 は、小さな 角 の 近似 にも 現れます。ラジアン で表した 小さな 角 では、正弦 と 正接 と 角 その もの が ほとんど 等しい という もの です。この 近似 は 振り子 の 式、レンズ の 解析、そして 工学 の 教科書 の 導出 の 半分 を支えており、角 が ラジアン の とき に かぎって 成り立ちます。

1 ラジアンは、およそ 57.29578 度に等しく、1 周は 2 パイ ラジアン、およそ 6.28319 に等しくなります。