| Referenz | Grad (deg) | Radiant (rad) |
|---|---|---|
| A right angle | 90 deg | 1.5708 rad |
| A half turn | 180 deg | 3.14159 rad |
| A full turn | 360 deg | 6.28319 rad |
| Earth's axial tilt | 23.44 deg | 0.409105 rad |
Das Grad ist eine Einheit des ebenen Winkels und entspricht einem Dreihundertsechzigstel einer vollen Umdrehung. Sein Zeichen ist ein kleiner hochgestellter Kreis, und die Abkürzung deg dient dort, wo dieses Zeichen fehlt. Es ist keine SI-Einheit, ist aber zum Gebrauch mit dem SI zugelassen und bleibt außerhalb der reinen Mathematik die gewöhnliche Art, einen Winkel anzugeben.
Die Wahl der 360 ist babylonisch. Ihre sexagesimale Rechnung arbeitete in Sechzigern, und 360 liegt nahe an der Zahl der Tage im Jahr, sodass die Sonne auf der Ekliptik täglich etwa ein Grad voranzurücken scheint. Die Zahl ist zudem ungewöhnlich bequem: sie teilt sich glatt durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 und 180, sodass die meisten gebräuchlichen Bruchteile eines Kreises auf ganze Grad fallen.
Die Unterteilung folgt derselben Basis. Ein Grad zerfällt in 60 Bogenminuten und jede Minute in 60 Bogensekunden, weshalb Breite und Länge in Grad, Minuten und Sekunden geschrieben werden. Dezimalgrade haben diese Schreibweise in der Software weitgehend abgelöst, weil sich mit einer einzigen Zahl leichter rechnen lässt, doch Seekarten und astronomische Kataloge behalten die ältere Form.
Alles von der Vermessung und dem Bauwesen bis zu Kameraobjektiven, Gewinden und Kompasskursen wird in Grad angegeben. Ein rechter Winkel misst 90, eine gerade Linie 180, eine volle Drehung 360, und diese drei Tatsachen tragen den größten Teil der Alltagsgeometrie ganz ohne Umrechnung.
Das metrische System versuchte ihn zu ersetzen und scheiterte. Das revolutionäre Frankreich führte den Gon ein, den hundertsten Teil eines rechten Winkels, sodass eine Vierteldrehung 100 Einheiten und eine volle Drehung 400 maß. Er hält sich in einigen Vermessungsgeräten des europäischen Festlands und in der Gon-Taste, die Taschenrechner noch tragen, doch sonst übernahm ihn nichts. Die heutige Praxis hat sich stattdessen von Minuten und Sekunden entfernt und den Grad behalten: Satellitennavigation, Kartensoftware und geografische Datenbanken speichern Breite und Länge in Dezimalgrad, sodass aus 51 Grad 30 Minuten 51,5 wird. Beide Schreibweisen beschreiben denselben Winkel, und die eine für die andere zu halten verschiebt eine Position um Dutzende Kilometer.
Ein Grad entspricht etwa 0,0174533 Radiant, 60 Bogenminuten oder 3600 Bogensekunden.
Der Radiant ist die SI-Einheit des ebenen Winkels. Sein Zeichen ist rad. Ein Radiant ist der Winkel, den ein Bogen von der Länge des Radius im Mittelpunkt eines Kreises einschließt, sodass eine volle Umdrehung zwei Pi Radiant beträgt, etwa 6,28319.
Weil er als Verhältnis zweier Längen definiert ist, ist der Radiant dimensionslos. Das ist keine Spitzfindigkeit, sondern sein ganzer Sinn. Deshalb ist die Ableitung der Sinusfunktion die Kosinusfunktion, ohne störende Konstante, und deshalb besagt die Kleinwinkelnäherung, dass der Sinus eines kleinen Winkels beinahe der Winkel selbst ist. Jedes dieser Ergebnisse erhält einen hässlichen Faktor Pi durch 180, wenn stattdessen Grad verwendet werden.
Den Namen prägte James Thomson, ein Bruder Lord Kelvins, 1873 in einer Prüfungsaufgabe am Queen’s College in Belfast, obwohl der Begriff schon ein Jahrhundert lang namenlos in Gebrauch war. Roger Cotes hatte die Vorzüge dieser Art der Winkelmessung in einem 1722 erschienenen Werk beschrieben.
Jede Programmiersprache und jede mathematische Bibliothek erwartet Radiant. Die trigonometrischen Funktionen in C, Python, JavaScript und deren Nachfahren nehmen Argumente im Bogenmaß, eine gängige Fehlerquelle, wenn ein Wert aus einer Benutzeroberfläche in Grad ankommt. Die Winkelgeschwindigkeit in Physik und Technik wird in Radiant je Sekunde angegeben, und Drehgrößen wie Drehmoment und Drehimpuls folgen derselben Konvention.
Aus demselben Grund misst man Drehung in Radiant je Sekunde. Die Winkelgeschwindigkeit in Radiant je Sekunde mal einem Halbmesser in Metern ergibt unmittelbar eine Geschwindigkeit in Metern je Sekunde, ohne Umrechnungsfaktor; ein Rad, das mit 100 Radiant je Sekunde auf 0,3 Meter Halbmesser läuft, hat also 30 Meter je Sekunde Umfangsgeschwindigkeit. Dieselbe Stimmigkeit zeigt sich in der Näherung kleiner Winkel, nach der bei einem kleinen, in Radiant ausgedrückten Winkel Sinus, Tangens und der Winkel selbst beinahe gleich sind. Diese Näherung trägt die Pendelformel, die Untersuchung von Linsen und die Hälfte der Herleitungen eines Ingenieurlehrbuchs — und sie gilt nur im Bogenmaß.
Ein Radiant entspricht etwa 57,29578 Grad, und ein voller Kreis entspricht zwei Pi Radiant, ungefähr 6,28319.