Umrechnung von Radiant in Bogenminuten

Informationen über Radiant (rad)

Der Radiant ist die SI-Einheit des ebenen Winkels. Sein Zeichen ist rad. Ein Radiant ist der Winkel, den ein Bogen von der Länge des Radius im Mittelpunkt eines Kreises einschließt, sodass eine volle Umdrehung zwei Pi Radiant beträgt, etwa 6,28319.

Weil er als Verhältnis zweier Längen definiert ist, ist der Radiant dimensionslos. Das ist keine Spitzfindigkeit, sondern sein ganzer Sinn. Deshalb ist die Ableitung der Sinusfunktion die Kosinusfunktion, ohne störende Konstante, und deshalb besagt die Kleinwinkelnäherung, dass der Sinus eines kleinen Winkels beinahe der Winkel selbst ist. Jedes dieser Ergebnisse erhält einen hässlichen Faktor Pi durch 180, wenn stattdessen Grad verwendet werden.

Den Namen prägte James Thomson, ein Bruder Lord Kelvins, 1873 in einer Prüfungsaufgabe am Queen’s College in Belfast, obwohl der Begriff schon ein Jahrhundert lang namenlos in Gebrauch war. Roger Cotes hatte die Vorzüge dieser Art der Winkelmessung in einem 1722 erschienenen Werk beschrieben.

Jede Programmiersprache und jede mathematische Bibliothek erwartet Radiant. Die trigonometrischen Funktionen in C, Python, JavaScript und deren Nachfahren nehmen Argumente im Bogenmaß, eine gängige Fehlerquelle, wenn ein Wert aus einer Benutzeroberfläche in Grad ankommt. Die Winkelgeschwindigkeit in Physik und Technik wird in Radiant je Sekunde angegeben, und Drehgrößen wie Drehmoment und Drehimpuls folgen derselben Konvention.

Aus demselben Grund misst man Drehung in Radiant je Sekunde. Die Winkelgeschwindigkeit in Radiant je Sekunde mal einem Halbmesser in Metern ergibt unmittelbar eine Geschwindigkeit in Metern je Sekunde, ohne Umrechnungsfaktor; ein Rad, das mit 100 Radiant je Sekunde auf 0,3 Meter Halbmesser läuft, hat also 30 Meter je Sekunde Umfangsgeschwindigkeit. Dieselbe Stimmigkeit zeigt sich in der Näherung kleiner Winkel, nach der bei einem kleinen, in Radiant ausgedrückten Winkel Sinus, Tangens und der Winkel selbst beinahe gleich sind. Diese Näherung trägt die Pendelformel, die Untersuchung von Linsen und die Hälfte der Herleitungen eines Ingenieurlehrbuchs — und sie gilt nur im Bogenmaß.

Ein Radiant entspricht etwa 57,29578 Grad, und ein voller Kreis entspricht zwei Pi Radiant, ungefähr 6,28319.

Informationen über Bogenminute (arcmin)

Die Bogenminute ist eine Einheit des ebenen Winkels und entspricht einem Sechzigstel Grad. Ihr Zeichen ist arcmin oder ein einfacher Strich nach der Zahl; sie heißt auch Winkelminute. Ein voller Kreis enthält 21 600 davon.

Sie ist der Grund für die Länge der Seemeile. Eine Bogenminute, entlang eines Meridians auf der Erdoberfläche gemessen, entspricht fast genau einer Seemeile, sodass ein Navigator, der die Breite von einer Karte abliest, sie ohne Rechnung unmittelbar in Entfernung umsetzt. Die Beziehung ist nicht vollkommen exakt, da die Erde keine perfekte Kugel ist, doch die moderne Seemeile von 1852 Metern wurde so gewählt, dass sie nahe am Mittelwert liegt.

Das menschliche Sehen löst Einzelheiten bis etwa eine Bogenminute auf, was dem Maßstab der Sehtests entspricht: die kleinsten Buchstaben der Normzeile spannen insgesamt fünf Bogenminuten, wobei jeder Strich eine Minute breit ist. Diese Grenze folgt aus dem Abstand der Photorezeptoren in der Netzhaut und aus der Beugungsgrenze der Pupille, und beide stimmen eng überein.

Büchsenschützen nutzen die Einheit für die Präzision: eine Streuung von einer Winkelminute misst auf hundert Yards rund 1,047 Zoll, üblicherweise auf einen Zoll gerundet. Die Astronomie verwendet sie für scheinbare Größen: Mond und Sonne spannen beide etwa dreißig Bogenminuten, weshalb eine totale Sonnenfinsternis überhaupt möglich ist.

Die Sternkunde nahm sie als Grenze dessen, was vor dem Fernrohr erreichbar war. Tycho Brahe, der in den 1580er Jahren mit großen geteilten Quadranten arbeitete, maß Sternörter auf etwa eine Bogenminute genau, und eben diese Genauigkeit erlaubte es Kepler zu zeigen, dass die Bahn des Mars eine Ellipse ist und kein Kreis. Die Einheit gibt zudem einen bequemen Griff am Himmel: Sonne und Mond spannen beide etwa 30 Bogenminuten, ein halbes Grad ist also die Breite jeder der beiden Scheiben, und eine bei ausgestrecktem Arm gehaltene Hand deckt mehrere Grad. Einen Himmelswinkel an der Breite des Mondes zu schätzen ist eine Gewohnheit, die älter ist als jedes Instrument.

Eine Bogenminute entspricht einem Sechzigstel Grad, 60 Bogensekunden oder etwa 0,000290888 Radiant.