Omrekenen van Radialen naar Boogminuten

Informatie over de Radiaal (rad)

De radiaal is de SI-eenheid van vlakke hoek. Het symbool is rad. Eén radiaal is de hoek die in het middelpunt van een cirkel wordt opgespannen door een boog even lang als de straal, waardoor een volledige omwenteling gelijk is aan twee pi radialen, ongeveer 6,28319.

Omdat zij is gedefinieerd als een verhouding van twee lengten, is de radiaal dimensieloos. Dat is geen technisch detail maar de hele bedoeling. Het is de reden dat de afgeleide van de sinusfunctie de cosinusfunctie is, zonder verdwaalde constante, en de reden dat de kleinehoekbenadering zegt dat de sinus van een kleine hoek vrijwel de hoek zelf is. Elk van die resultaten krijgt een lelijke factor pi gedeeld door 180 als in plaats daarvan graden worden gebruikt.

De naam werd gemunt door James Thomson, broer van lord Kelvin, in een examenvraag aan Queen's College in Belfast in 1873, hoewel het begrip al een eeuw naamloos in gebruik was. Roger Cotes had de voordelen van het op deze wijze meten van hoeken beschreven in een werk dat in 1722 verscheen.

Elke programmeertaal en elke wiskundige bibliotheek verwacht radialen. De goniometrische functies in C, Python, JavaScript en hun nakomelingen nemen argumenten in radialen, een gewone bron van fouten wanneer een waarde in graden binnenkomt uit een gebruikersinterface. Hoeksnelheid in natuurkunde en techniek wordt uitgedrukt in radialen per seconde, en rotatiegrootheden als koppel en impulsmoment volgen dezelfde afspraak.

Draaiing wordt om dezelfde reden in radialen per seconde gemeten. De hoeksnelheid in radialen per seconde maal een straal in meters geeft rechtstreeks een snelheid in meters per seconde, zonder omrekenfactor, dus een wiel dat met 100 radialen per seconde draait op een straal van 0,3 meter heeft een velgsnelheid van 30 meter per seconde. Dezelfde samenhang duikt op in de benadering voor kleine hoeken, die zegt dat voor een kleine, in radialen uitgedrukte hoek de sinus, de tangens en de hoek zelf vrijwel gelijk zijn. Die benadering draagt de slingerformule, de analyse van lenzen en de helft van de afleidingen in een ingenieursboek, en zij geldt alleen als de hoek in radialen staat.

Eén radiaal is gelijk aan ongeveer 57,29578 graden, en een volledige cirkel is gelijk aan twee pi radialen, ruwweg 6,28319.

Informatie over de Boogminuut (arcmin)

De boogminuut is een eenheid van vlakke hoek gelijk aan een zestigste graad. Het symbool is arcmin, of een enkele prime achter het getal, en zij heet ook hoekminuut. Een volledige cirkel bevat er 21 600.

Zij is de reden dat de zeemijl de lengte heeft die zij heeft. Eén boogminuut gemeten langs een meridiaan op het aardoppervlak komt vrijwel precies overeen met één zeemijl, zodat een navigator die de breedte van een kaart afleest die zonder rekenwerk rechtstreeks in afstand omzet. Het verband is niet volmaakt exact omdat de aarde geen volmaakte bol is, maar de moderne zeemijl van 1852 meter werd zo gekozen dat zij dicht bij de gemiddelde waarde ligt.

Het menselijk zicht lost details op tot ongeveer één boogminuut, wat overeenkomt met de maatstaf van oogtests: de kleinste letters op de regel voor normale gezichtsscherpte spannen in totaal vijf boogminuten, waarbij elke streek één minuut breed is. Die grens volgt uit de afstand tussen de fotoreceptoren in het netvlies en uit de diffractiegrens van de pupil, en de twee vallen nauw samen.

Geweerschutters gebruiken de eenheid voor precisie: een groepering van één hoekminuut spreidt ongeveer 1,047 inch op honderd yard, doorgaans afgerond op één inch. De sterrenkunde gebruikt haar voor schijnbare afmetingen: de maan en de zon spannen allebei ongeveer dertig boogminuten, en daarom is een totale zonsverduistering überhaupt mogelijk.

De sterrenkunde gebruikte haar als de grens van wat vóór de kijker bereikbaar was. Tycho Brahe, die in de jaren 1580 met grote verdeelde kwadranten werkte, mat sterposities tot ongeveer één boogminuut nauwkeurig, en juist die nauwkeurigheid liet Kepler aantonen dat de baan van Mars een ellips is en geen cirkel. De eenheid geeft bovendien een handige greep op de hemel: de Zon en de Maan spannen beide ongeveer 30 boogminuten, dus een halve graad is de breedte van elk van beide schijven, en een hand op armlengte bedekt enkele graden. Een hoek aan de hemel schatten tegen de breedte van de Maan is een gewoonte ouder dan enig instrument.

Eén boogminuut is gelijk aan een zestigste graad, 60 boogseconden of ongeveer 0,000290888 radialen.