| 基準 | 度 (deg) | ラジアン (rad) |
|---|---|---|
| A right angle | 90 deg | 1.5708 rad |
| A half turn | 180 deg | 3.14159 rad |
| A full turn | 360 deg | 6.28319 rad |
| Earth's axial tilt | 23.44 deg | 0.409105 rad |
度は、1 回転の 360 分の 1 にあたる平面角の単位です。記号は小さく持ち上げた丸で、その文字が使えない場面では deg という略号を用います。SI の単位ではありませんが SI と併用することが認められており、純粋数学の外では角を表す通常の方法であり続けています。
360 という選択はバビロニアに由来します。彼らの六十進法の計算は 60 を単位としており、360 は 1 年の日数に近いため、太陽は黄道上を 1 日におよそ 1 度ずつ進むように見えます。この数はまた、きわめて扱いやすいものです。2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180 で割り切れるので、円のよく使う分数はたいてい整数の度に収まります。
細分も同じ底に従います。1 度は 60 分に分かれ、1 分はさらに 60 秒に分かれます。緯度と経度が度、分、秒で書かれるのはそのためです。ソフトウェアではこの表記を十進の度がおおむね置き換えました。ひとつの数のほうが計算しやすいからです。しかし海図と天体カタログは古い形式を保っています。
測量や建築から、写真レンズ、ねじの規格、方位磁針の針路まで、あらゆるものが度で指定されます。直角は 90、直線は 180、1 回転は 360 であり、この三つの事実が、換算をいっさい伴わずに日常の幾何の大半を支えています。
メートル 法 は これ を置き換えようとして 失敗 しました。革命 期 の フランス は、直角 の 百 分 の 一 である グラード を導入し、四 分 の 一 回転 を 100 単位、一 回転 を 400 単位 としました。これは ヨーロッパ 大陸 の 一部 の 測量 の 器具 と、いま も 電卓 に残る グラード の 鍵 に 生き残っていますが、ほか に 採り入れた もの は ありません。今日 の 実務 は かわりに、度 その もの は 残した まま 分 と 秒 から 離れました。衛星 による 航法、地図 の 軟件、地理 の 資料 の 集まり は、緯度 と 経度 を 十進 の 度 で保ちます。ですから 51 度 30 分 は 51.5 になります。ふたつ の 書き方 は 同じ 角 を表しますが、取り違えれば 位置 は 数十 キロメートル ずれます。
1 度は、およそ 0.0174533 ラジアン、60 分、3600 秒に等しくなります。
ラジアンは、SI における平面角の単位です。記号は rad です。1 ラジアンは、半径と同じ長さの弧が円の中心に対して張る角であり、したがって 1 回転は 2 パイ ラジアン、およそ 6.28319 になります。
二つの長さの比として定義されるため、ラジアンは無次元です。これは細かい約束事ではなく、この単位の存在理由そのものです。サイン関数の導関数が余計な定数を伴わずコサイン関数になるのはこのためであり、微小角の近似が、小さい角のサインはほぼその角自身に等しいと述べられるのもこのためです。度を使うと、これらの結果はいずれも パイ を 180 で割った見苦しい係数を抱え込みます。
この名は 1873 年、ベルファストのクイーンズ・カレッジの試験問題のなかで、ケルビン卿の兄弟であるジェームズ・トムソンが作りました。概念自体は名前のないまま 1 世紀にわたって使われていました。ロジャー・コーツは、このやり方で角を測る利点を 1722 年に刊行された著作で述べています。
あらゆるプログラミング言語と数学ライブラリはラジアンを前提とします。C、Python、JavaScript とその系譜の三角関数はいずれもラジアンの引数を取り、利用者インターフェースから度の値が渡ってくると、これは日常的な不具合の原因になります。物理と工学における角速度はラジアン毎秒で表され、トルクや角運動量といった回転の量も同じ約束に従います。
回転 を 毎秒 ラジアン で測るのも 同じ 理由 です。毎秒 ラジアン の 角 の 速さ に、メートル の 半径 を掛ければ、換算 の 係数 なしに 毎秒 メートル の 速さ が じかに 出ます。半径 0.3 メートル の 車輪 が 毎秒 100 ラジアン で回れば、縁 の 速さ は 毎秒 30 メートル です。同じ 整合 は、小さな 角 の 近似 にも 現れます。ラジアン で表した 小さな 角 では、正弦 と 正接 と 角 その もの が ほとんど 等しい という もの です。この 近似 は 振り子 の 式、レンズ の 解析、そして 工学 の 教科書 の 導出 の 半分 を支えており、角 が ラジアン の とき に かぎって 成り立ちます。
1 ラジアンは、およそ 57.29578 度に等しく、1 周は 2 パイ ラジアン、およそ 6.28319 に等しくなります。